高中物理筆記-8-功與力學能

功與力學能

功與功率

功（Work）

1. 意義：施力的有效工作量
2. 公式：$W=\vec{F} \cdot \vec{d}=Fd\cos\theta$
3. 單位：$N \cdot m=J$（焦耳）
4. 功為純量，沒有方向性。但有正負（取決於$\cos\theta$），代表系統能量的增減變化量
   至於其獲取的正負則根據其夾角$\cos\theta$而定
5. 性質
   (1) 功具有累積性，不同時間的功可以相加
   (2) 某系統受多力作用時，則對系統所做的功=各力所作之功的和=各力之合力作功

能量

1. 物體具有作功的能力，則代表此物具有能量
2. 單位：$J$（焦耳）
3. 作功會造成系統能量變化，而能量代表系統可以作功

延伸：常見不作功範例

1. 單擺
   繩張力(T)會垂直於物體的速度，顧不作功
   
2. 衛星作圓周運動
   
3. 物體是否維持等速率

功率（Power）

1. 意義：作功的效率，表示單位時間的作功或能量變化。
2. 公式：$P=\frac{W}{\Delta T}$
3. 單位：$J/s=W$（瓦特）

附註：度

1. 將功率乘上時間可得這段時間內的作功
2. 台灣電費計費單位是度=千瓦小時，也是能量單位
   千瓦小時（$kW \cdot h$）是複合單位，實際上1千瓦的電器使用1小時消耗的電就是一度
3. 1度$1kW \cdot h=1000W \times 3600$秒$=3.6\times10^6J$

動能與功能原理

動能（Kinetic Energy）

1. 意義：物體因為運動所具有的能量
2. 公式：$K=\frac{1}{2}mv^2$
3. 單位：$kg\times m^2/s^2=J$(焦耳)
4. 一樣沒有方向性，且恆為正值，僅能表示作功力之大小

功能定理

這裡就不推導了，記得合力作功$W=\Delta K=k_f-k_i$

位能與力學能守恆

位能（Potential Energy）

1. 意義：物體因為位置不同，而儲存在系統中的能量
2. 單位：焦耳$J$
3. 要注意的幾件事
   （１）位能不是單一物體所擁有的能量，而是系統所擁有的能量
   （２）要定義基準面，隨基準面（零位面）不同，位能可以有不同的值
   （３）位能的值其實沒太大意義，重要的是兩點間的位能差，代表其作功能力

位能分類

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{位能形式} & \text{系統} & \text{公式} & \text{零位面} \\ \hline \text{重力位能} & \text{質點系統} & U_g = mgh & \text{地表} \\ \hline \text{彈力位能} & \text{彈簧系統} & U_s = \frac{1}{2} k x^2 & \text{平衡位置} \\ \hline \text{電磁位能} & \text{電荷系統} & \text{暫不討論} & \text{無窮遠} \\ \hline \end{array}$

電磁位能不太會考
另外一個原因是我還沒學哈哈ww
這邊先簡易介紹一下重力位能與彈力位能
通常而言，重力位能的零位面是地表，彈力位能的零位面是彈簧原長處
但可依其計算方便性去定義零位面
就如剛才說的，重要的不是值本身，而是位能差

力學能

在講到力學能之前要先講一下所謂的保守力與非保守力
什麼是保守力呢，就是很保守的力wwww

$\begin{cases} \begin{array}{l} \text{重力} \\ \text{彈力} \\ \text{電磁力} \end{array} \end{cases}$

可以簡單分成這三種
其中學測通常只考前兩種
換句話說其他看起來壞壞的會欺負你的就是非保守力
像摩擦力、正向力、浮力、空阻等等等

那接下來要進到我們最可愛又最好玩的大魔王嘞

力學能(E)

簡單來說
力學能就是動能加位能
如果沒有非保守力
整個系統的運作前後動位能相加會相等，也就是我們所說的力學能守恆

$\begin{cases} \begin{array}{l} K_i+U_i=K_f+U_f \\ \Delta K+ \Delta U =0 \\ \end{array} \end{cases}$

好，以上到這邊，恭喜你閱讀完了基礎，也就是我們最常看到的部份
接下來來點更好玩的瞜~
準備好了嗎孩子們
要開始瞜哈哈哈哈哈

星體間的力學能守恆

重力位能一般通式

上到這裡的時候很常令我感到困惑
尤其又是自己摸不到感受不到的東西
算一堆名為M跟m的星星在那裡有多少位能到底乾我屁事
宇宙中有一個莫名其妙的大圓環跟星星，我算出來他的速度我的晚餐也不會加菜阿www
吐槽完了，Anyway，
我們之前學的$U_g=mgh$是針對地表附近的重力位能
今天如果是像衛星，星球間的引力等等的
就不能代這個公式
因此誕生了一條新的式子

$U_g=\frac{-GMm}{r}$

有沒有感覺很像什麼式子，沒錯，就是我們的萬有引力公式
其實只要將它簡易微分
就會長的跟萬有引力公式一樣瞜

圓周軌道的星體運動

先回到星星間最容易想到的力
也就是萬有引力，也是我們第一個力
接下來由於現在討論的情況是圓周軌道，所以也可以代$F_c=m\frac{v^2}{r}$這個公式
那，好玩的事情來了
我們簡單約分並將兩邊都乘以$\frac{1}{2}$
會發現甚麼
欸~~~~好神奇喔
變動能的式子了欸

那，我們的總力學能代入剛才的位能一般通式去算

$E=U+E_=\frac{-GMm}{r}+\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U$

好神奇呦
竟然變$\frac{1}{2}$倍的位能了耶
好酷喔~~(並沒有)

只是需要注意
如果今天遇到的是橢圓軌道的話
需要先用克卜勒第二定律
用距離求出速率比
再用$E\propto V^2$去進行解題喔

補充：脫離速度

最後簡單介紹一下脫離速度的概念
就可以結束這篇博客了（終於（泣～
簡單而言，脫離速度就是要把星體拖去無窮遠處
但我們要求剛好達到無窮遠處所需的能量
所以要先知道星體在原軌道上的能量
可以用前面的式子

$\frac{-GMm}{r}+\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U$

也就是$\frac{1}{2}U=\frac{-GMm}{2r}$來代入
然後加上所需的動能$E_k$
如果需要的是速率
可以再用原動能公式下去化簡求出速率

以上
為功與力學能的篇章
可能有很多沒補充到的
之後再補齊吧
掰~